2016 年全国高中数学联赛一试 · 第 5 题

解答

设底面圆心为 $O$。由 $\angle ABC=90^{\circ }$，$AC$ 是直径，故 $AO=1$；圆锥的轴垂直于底面，所以

设 $H$ 为 $M$ 在底面上的射影。因为 $M$ 是 $AP$ 的中点，$H$ 是 $AO$ 的中点，故

在底面内作 $HK\perp BC$，垂足为 $K$。由于 $AB\perp BC$，有 $HK\Vert AB$，所以

又 $MH\perp BC$，故 $BC$ 垂直于平面 $MHK$，特别地 $MK\perp BC$。 $H$ 与 $A$ 位于直线 $BC$ 的同侧，因此 $\angle MKH$ 正是二面角 $M-BC-A$ 的平面角。 在直角三角形 $MHK$ 中，

该角为锐角，故所求二面角为 $\boxed{\arctan \frac{2}{3}}$。