专题地图 › 递推数列
2021 年浙江预赛
F3填空题递推数列
设数列
an+1=⌊2an⌋+⌊3an⌋,n=1,2,…,7,
这里 ⌊x⌋ 表示不超过 x 的最大整数。若 a8=8,则正整数 a1 有 种可能的取值情况。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
标准答案:7
解析
思路
函数 T(m)=⌊m/2⌋+⌊m/3⌋ 单调不减,从 a8=8 逐层求有限原像最直接。
解答
写 m=6q+r(0≤r<6),则
T(m)=5q+⌊2r⌋+⌊3r⌋.
据此逐层求原像,得到
k87654321ak 的所有可能值810,1112,13,1415,16,1718,19,20,2122,23,24,25,2627,28,29,30,31,3233,34,35,36,37,38,39
故正整数 a1 共有 7 种可能。
复核
T 单调不减,上表每一行恰为下一行集合的完整原像,因此不会漏掉区间外的整数。
方法总结
含多个取整项的整数递推,按分母最小公倍数分类可精确求原像;终值已知时逆推比正向搜索更短。
为什么评为 F3(会透露解法方向)
须以末项为起点逐层求完整原像,并用除以6的余数分解与单调性保证未漏区间外初值。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:反求全部合法输入并筛选
专题卡:数列按下标分支:沿商链折回,按区间分块