同一骨架 2017 年陕西预赛 第 10 题 · P010197
两题都要求指定的类别全部出现，可以先看缺少某类的事件，再对这些缺类事件作容斥。交集项表示同时缺少几类，必须按剩余可用对象重新计数。
彩球是不放回选择，缺类后仍用组合数；卡片是有放回的有序抽取，缺类后的计数是可用数字数的幂，不能混用分母。
培玉 · 一试
2008 年湖北预赛 · 第 8 题
F2填空题概率
有六张分别写有数字 的卡片，每次从中抽取一张，记下上面的数字，然后放回。这样取了 次，则抽到的最大数与最小数的差等于 的概率为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
在数字 至 内，最大值与最小值之差为 ，恰好等价于四次中同时出现 与 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
用缺少端点的补事件作容斥。
解答
四次有放回抽取共有 个等可能有序结果。要使极差为 ，最大值必须是 、最小值必须是 。不出现 有 种，不出现 也有 种，同时不出现两者有 种。因此有利结果数为
所求概率为
复核
容斥中“同时缺少 ”被减去两次，应加回一次。全枚举四次有序抽取，也恰有 个结果同时包含两个端点。
方法总结
极差达到所有候选值的最大跨度时，事件就是两个端点都出现。要求多个类别出现，可对缺类事件作容斥。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
最大极差等价最小和最大标签都出现，可对缺少两端的事件作容斥；有放回抽取按有序结果等可能计数。
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