培玉 · 一试
2025 年甘肃预赛
差分不等式条件下函数值不唯一
已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意 ，都有
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
这里函数的定义域为整数，函数值没有被要求为整数。缺口法把单侧差分界转成非负量的滑动和约束；阶梯项可用向上取整定义，跨一个完整周期时恰增加一。
想法从哪来：题目外观像要求一个数，但差分只有上下界，先检查是否真的唯一。短步长上界最容易累加，因而把它减去实际增量定义为非负缺口。三个短步长等于一个长步长，于是另一个条件恰好限制连续三个缺口的和，而不是逐个强迫缺口为零。 目标与已知点处在同一模四数列上，可以精确累加全部短增量。把缺口按三项分组得到总范围，末尾不足三项仍可借后一项的非负性控制。要证明范围中的每个数都能取到，仅在这一条子序列上构造还不够；用二次主项减一个带参数的阶梯项，在全体整数上逐式验证两种差分，才能说明原条件确实留有连续自由度。
先把步长四的增量与它的上界作差。步长十二的下界就变成连续三个非负差量的总上限；累加到目标点后，再构造满足全部整数输入条件的函数，确定所有可能值。
解答
对每个整数 ，记
步长四的条件给 。把连续三个增量相加，并使用步长十二的条件，得
于是
因为 ，由首尾相消，
前 个 可分成 个连续三项组，每组至多为 。最后两项由 及 ，也至多为 。于是
故所求商必在闭区间
内。
下面证明该区间内每个值都能取得。对任意 ，在全体整数上定义
这里 表示不小于 的最小整数。显然 。对于任意整数 ，
因此
又因相差十二时取整项恰好增加一，
所以每个 都满足全部条件，包括负整数输入。并且
当 遍历 时，其商值恰好遍历 (3)。因此原条件允许的全部可能值为
复核
三个非负差量的每组上限为 ，，所以末尾两项还需借下一项的非负性控制，不能丢掉它们。 分别达到区间两端，其他参数给全部中间值。题面只限制函数的定义域为整数，没有要求函数值也为整数。
方法总结
短步长上界减去实际增量，可把两侧函数差分界变成非负量的滑动组约束。先精确求目标增量的范围，再用一个对全域有效的函数族证明每个保留值均可实现。
为什么评为 F4 · 本站估计（会透露解法方向）
须把两种步长的差分界变成非负余量的滑动组约束，精确处理末两项，再构造全整数域函数族穷尽全部可达商值。
已记下，谢谢！