2014 年辽宁预赛 · 第 15 题

F3解答题数列综合

已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，对于任意的 $p, q \in N^{*}$ ，有 $a_{p + q} = a_{p} + a_{q}$ 。

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2) 数列 ${b_{n}}$ 满足

a_{n} = \frac{b _{1}}{2 ^{1} + 1} - \frac{b _{2}}{2 ^{2} + 1} + \frac{b _{3}}{2 ^{3} + 1} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{b _{n}}{2 ^{n} + 1} (n \in N^{*}),

求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3) 设 $C_{n} = 3^{n} + λ b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），是否存在实数 $λ$ ，使当 $n \in N^{*}$ 时 $C_{n + 1} > C_{n}$ 恒成立？若存在，求实数 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

全称可加关系与交错前缀各自还原通项，严格递增参数须分奇偶并证明两支阈值的单调和端点。

用到的方法（会透露解法方向）