培玉 · 一试
2010 年湖南预赛 · 第 16 题
F3解答题平面几何综合
如图，两个较小的圆 在大圆 内滚动时始终保持和 内切，切点分别为 。 是 和 的外公切线。已知 的半径分别为 ，求证：
为定值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
把外公切线两切点距离平方写成两圆心距平方减半径差平方。
思路
内切大圆又把两圆心位置与P、Q的方向直接联系起来，两个平方只差固定倍率。
解答
设 ，记a=R−r1、b=R−r2。两小圆心在OP、OQ上且距O为a、b，所以
两条切点半径垂直外公切线，作平行投影得到
而大圆弦长满足 。在PQ≠0的构型下，
与滚动位置无关。
复核
若两小圆等半径，MN就是两圆心距，比例化为(R−r)²/R²，与同心缩放一致。P=Q时原商无定义，属于商本身排除的退化点，不能直接约去零因子后称原商有值。
方法总结
外公切线段用圆心距与半径差勾股；两圆同时内切同一大圆时，沿大圆切点半径写圆心位置可揭示固定倍率。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
外公切线段先用圆心距与半径差勾股，再借大圆内切的径向位置配方抵消；约去公共角因子前须保原商非退化。
已记下，谢谢！