2009 年天津预赛 · 第 9 题

思路

垂心是三条高的交点，顶点与垂心连线位于该顶点的高上。截距式 $x/f+y/g=1$ 描述连接 $(f,0)$ 与 $(0,g)$ 的直线。

想法从哪来：垂心题不一定要先找垂心坐标：AH1与BH2本身就是两条高，只需知道它们分别垂直哪条边。直径圆周角先给两组垂直，长度乘积条件又可重写成两组边比；配上同圆角，便得到两个小三角形相似，进一步推出EF与EG垂直。这样两条高的交点K立即在以AB为直径的圆上。第二问沿EF、EG取正交坐标，K的两坐标分别由A、B贡献；两组原有垂直式提供直线FG截距式中的分母。还要用E在圆内保证相关数量积非零，不能约去一个可能为零的量后直接判共线。

先从乘积条件和同圆角得到相似，证明两个垂心定义中的对边互相垂直；共线部分再用一组正交坐标消去投影。