培玉 · 一试
2024 年江西预赛
F4解答题平面几何综合
设 为锐角 的垂心， 与边 切于点 ，且与边 无交点。已知 分别与 切于点 （均异于 ）， 为 的高。求证： 四点共线。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
正射影公式把垂足写成直线上一点加方向向量的适当倍数；判共线可用直线方程或行列式，能覆盖竖直线而无需斜率存在。
想法从哪来：四点共线若逐个求角，需要来回切换切线与高线；这里它们都由垂直定义，坐标法更统一。圆心是垂心，圆与底边相切，便把切点设为原点、圆心放纵轴，A也在同一条高线上。先用另一条高的垂直条件，得到底边两段与两个高度的乘积关系，提前消去一个参数。切点D、E既在圆上，又满足半径垂直于外点连线，联立时会自动出现公共切点M，必须把它剔除。垂足F、G用投影表示，最后选两点定一条一次方程，再逐点代入，其余两点共线便无需比较易失效的斜率。
把切点 取为原点、公共高取为纵轴；切点和垂足都能由一次正交条件直接求坐标。
解答
取
其中 ，。由 得
圆 的方程为
设 。由 可得 ；与圆方程联立并除去 ，得到
同理，由 并使用 ，得到
分别是 到 、 到 的垂足。由正射影公式及 ，
将上述四点逐一代入直线
均成立。因此 四点共线。
复核
联立圆与切点极线时已除去公共切点 ，所以 正是题设所指的另一切点；四个坐标的分母均为正。
方法总结
圆的切点可用“半径垂直切线”联立求出，三角形高的垂足可用正射影求出；若配置围绕同一条高对称，坐标法常能显出共同的一次方程。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需先建立垂心约束uv=ah，再协调两类切点和垂足坐标，发现并核验同一直线。
已记下，谢谢！