2020 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 9 题

解答

设 $A=(a,0),B=(0,b),F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$，其中 $a>b>0,c^2=a^2-b^2$。题设给 $a^2+b^2-2c^2=0$，故 $a^2=3b^2,c^2=2b^2$。在B处两组向量为 $(a,-b)$ 与 $(-c,-b)$、$(c,-b)$。相应叉积绝对值为 $b(a+c)$、$b(a-c)$，点积为 $b^2-ac$、$b^2+ac$。因此正切积 $b^2(a^2-c^2)/(b^4-a^2{c}^2)=b^4/(b^4-6b^4)=\boxed{-1/5}$。