2026 年广东预赛

思路

圆内点的有向点幂：若端点在定点两侧，则有向参数乘积为负；单位圆内点 $A$ 满足 $\overrightarrow{AQ}=-\frac{1-|A{|}^2}{A{P}^2}\overrightarrow{AP}$。约分须先检验被约因子非零。

想法从哪来：动直线的斜率会漏掉竖直线，还容易带出大量根式；改为先自由选圆上一端点，再由圆内定点确定另一端点。由于定点在圆内，两端点在它的两侧，点幂直接给出两段长度的乘积，连方向也确定，从而另一端点可以有理地表示出来。 随后先算距离的平方，避免过早开方。题中的两个外点坐标并非任意：把另一端点的坐标代入后，两个距离平方出现相同的线性因子。约去它以后，距离比变成定点到圆上端点的距离。此时极值由最近点和最远点给出，连续性还保证两端之间没有空缺。

点 $A$ 在圆内，任取一个交点 $P$ 后，另一个交点 $Q$ 可由相交弦定理写成 $P$ 的有理式。代入距离后，题设中特殊的 $B,C$ 会使比值恰好化为 $AP$。