2026 年四川预赛

思路

固定系数时 $A\cos \theta +B\sin \theta$ 的最小值为 $-\sqrt{A^2+B^2}$，可由辅助角公式取得。对绝对值表达式求极值前，需先确定内部符号或分开讨论。

想法从哪来：两动点来自不同曲线，先别同时求四个坐标。用行列式写面积，固定抛物线上的点后，椭圆点只出现在线性表达式里，参数化成正弦余弦就能先精确优化掉一个自由度。取绝对值前必须先判断行列式是否可能变号，否则逐次最小化会把有向面积误当面积。 椭圆完全位于纵轴一侧，结合抛物线纵坐标平方加一，可以证明行列式始终同号。于是对椭圆参数使用辅助角公式，剩下的式子只依赖抛物线横坐标的平方。将其作为非负变量求导，检查导数变号与端点，再选实际角参数达到线性式的最小值，才能保证下界可取到。

用行列式表示三角形面积。固定抛物线参数后，关于椭圆点的表达式是正弦、余弦的一次式， 可先精确取最小值；随后只剩 $t=x_A^2\ge 0$ 的单变量问题。