2008 年辽宁预赛 · 第 16 题

解答

（1）由等比条件 $a^2=2bc$ 与 $a^2=b^2+c^2$，得 $(b-c{)}^2=0$。所以 $b=c=a/\sqrt{2}$，$\boxed{e=1/\sqrt{2}}$。（2）对题述直线均有定义的构型，令 $AM,AN$ 斜率为 $u,v$。椭圆除左顶点外的点由斜率 $u$ 可写成 $x=a(b^2-a^2{u}^2)/(b^2+a^2{u}^2),y=2a{b}^{2}u/(b^2+a^2{u}^2)$。两点弦方程相应为 $(1-a^{2}uv/b^2)x/a+(a/b^2)(u+v)y=1+a^{2}uv/b^2$。代入弦上的 $F=(c,0)$，得到 $uv=-b^2(a-c)/(a^2(a+c))$。右准线为 $x=a^2/c$，故 $y_P=a(a+c)u/c,y_Q=a(a+c)v/c$，从而 $y_P{y}_Q=-b^4/c^2$。而 $x_P-c=x_Q-c=b^2/c$，所以 $\boxed{\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}=0}$。