2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 6 题

解答

$\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AC}{AB}=2$，所以 $\sin B=2\sin C=\cos B$，因 $B\in (0,\pi )$ 得 $B=\frac{\pi }{4}$。设 $BC=a$，余弦定理 $A{C}^2=A{B}^2+a^2-2\cdot AB\cdot a\cos B$ 给 $4=1+a^2-\sqrt{2}a$，即 $a^2-\sqrt{2}a-3=0$，取正根 $a=\boxed{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}}$。