培玉 · 一试
2022 年浙江预赛
F2填空题空间角与距离
在棱长为 的正方体 中， 是 的中点， 是 的中点，则 到过 三点的平面的距离为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
建立正方体直角坐标系，先由平面内两条方向向量求法向量，再使用点到平面距离公式。
解答
取
上底各点的第三坐标为 。于是
向量 的叉积与 平行，故平面法向量可取 。又
所求距离为
复核
两条平面方向向量与 的点积均为零；距离小于正方体体对角线，数量级合理。
方法总结
空间点面距离最稳定的做法是坐标化：两个面内向量叉乘得法向量，再作一次投影。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
取标准立方体坐标，由两条平面方向向量求法向量后直接计算点面距离。
已记下，谢谢！