培玉 · 一试
2026 年甘肃预赛
长方体中四点外接球
F3填空题立体几何综合
在长方体 中，
点 在线段 上，当三角形 的面积最小时，三棱锥 的外接球的表面积是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
以长方体三条棱建立直角坐标系。
思路
三角形 以定长 为底，其面积最小时， 只需最小化 到直线 的距离；确定 后，再由到四个顶点等距求球心。
解答
取
设
因为 ，且 到直线 的距离为
所以
二次式在
时取得最小值。此时
设三棱锥外接球的球心为 。由 得 ； 由 得
故 。再由 ，即
得到
从而 。因此
外接球表面积为
复核
位于线段参数区间内。把 分别代入到 的距离平方，均得 ；且 的 坐标非零， 四点不共面，外接球唯一。
方法总结
长方体中的动点面积问题可先利用“定底乘高”降为平面距离最值。 确定动点后，外接球心由若干垂直平分面给出的线性方程求出，比直接套球半径公式更稳定。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
面积最小先确定P为B到AC的垂足，由PA⊥PB及BB1垂直底面推出PA⊥PB1，识别AB1为外接球直径可避免繁算。
已记下，谢谢！