2024 年中科大少年班营二 · 第 5 题

解答

以下 $p,q$ 表示素数。对非零有理数 $r$，若 $r=p^{s}u/v$ 且 $p\nmid uv$，则 $|r{|}_p=p^{-s}$，并约定 $|0{|}_p=0$。

（1）设 $p\ne q$。考察有理数序列 $r_n=p^n$，则

另一方面，$q\nmid p$，故

对所有 $n$ 成立。因此该序列在 $p$-进距离下趋于 $0$，在 $q$-进距离下不趋于 $0$。若两个距离诱导相同拓扑，它们对同一序列是否收敛到同一点的判断必须相同，故不同素数的进距离互不等价。

（2）先证明一个整除性质：若整数 $u$ 满足 $p^s\mid u-1$，其中 $s\ge 1$，则 $p^{s+1}\mid u^p-1$。写 $u=1+t$，$p^s\mid t$，有

这里当 $p=2$ 时中间和为空。首项被 $p^{s+1}$ 整除；中间各项利用 $p\mid \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j}\right)$ 也被该幂整除；末项因 $sp\ge s+1$ 同样被该幂整除，性质得证。

令 $z_n=(1+p{)}^{p^n}$，先从 $z_0=1+p$ 出发归纳。由 $z_{n+1}=z_n^p$ 及上述性质，得到

所以

故在题设距离下