2011 年湖北预赛 · 第 8 题

解答

根式要求 $x\ge 0$。若 $k<0$，右端非正，等号只能要求 $x=0$ 且 $|x-k|=0$，矛盾； 若 $k=0$，仅有根 $x=0$。故两不同实根必有 $k>0$。 此时两边均非负，原方程与下式等价：

其判别式为 $k^3(k+8)/4>0$，两根的和、积均正，故两根 $x_{-},x_{+}$ 均为正。 又 $p(k)=-k^3/2<0$，所以 $x_{-}<k<x_{+}$。由根和，

因此两根都在 $[k-1,k+1]$ 中，当且仅当 $x_{+}\le k+1$。 因 $k+1>k>x_{-}$，后一条件又当且仅当

将不等式因式分解，得

二次因子恒正，结合 $k>0$，所求范围即 $\boxed{0<k\le 1}$。 上述等价链也证明充分性；$k=1$ 时允许右根落在闭区间端点，$k=0$ 则因两根合并须排除。