同一骨架 2025 年四川预赛 · P006385
两题的指数式与对数式表面不同，但通过指数值或线性平移换元后，各题的两道条件能够成为同一个严格单调方程。利用唯一性直接得到未知量之间的关系，比逐个求出超越方程的根更有效。
一题把指数值与正真数统一，另一题还需调整输入的平移量；共同前提是两次换元均可逆且落在同一单调域。
培玉 · 一试
2025 年广州预赛
对数方程与指数方程的对应
F3填空题幂指对
已知实数 满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
第一式中同时出现 与其对数，第二式中同时出现 与 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把 和 分别设为正变量后，两式会化为同一个严格单调方程。
解答
由对数的定义域知 。令
第一式乘以 后化为
再令 ，则 ，第二式化为
函数 在 上严格递增，因此它至多有一个零点。于是 ，并且
故
复核
，唯一性依据成立；定义域 也已保留。把 代回可同时满足两道原方程。
方法总结
当一组方程分别含有“变量与其对数”和“指数与指数上的变量”时，可把指数值设成新变量，将两式统一为同一个单调方程。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
不能分别显式解 a、b；需主动取 x=2a-1、，使两式变为同一严格递增函数的零点方程，之后目标值直接得到。
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