2014 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

由 $e^2=1-b^2/a^2=2/3$，有 $b^2=a^2/3$。结合 $ab=2\sqrt{3}$，得到 $a^2=6,b^2=2$，所以椭圆为

题设直线写成 $y=k(x-2)$。代入椭圆得

其判别式为 $24(1+k^2)>0$。记 $D=1+3k^2$，弦中点及半弦向量可取为

记 $J(x,y)=(-y,x)$ 为九十度旋转。以 $AB$ 为一边的两个等边第三顶点恰为 $M+\epsilon \sqrt{3}J\mathbf{d}$，其中 $\epsilon =\pm 1$。它的横坐标为

要求横坐标为三，等价于

平方后约去严格为正的 $1+k^2$，得 $2k^2=1+k^2$，故 $k=\pm 1$。再回到式 (1)：当 $k=1$ 时取 $\epsilon =-1$，得到 $P=(3,-2)$；当 $k=-1$ 时取 $\epsilon =1$，得到 $P=(3,2)$。这两个点分别由真实半弦旋转构成等边三角形，故所求直线存在，且仅有