2014 年辽宁预赛 · 第 4 题

解答

原分式为 $\tan (A+\pi /3)$，分母非零。由其等于 $\tan (7\pi /12)$，且 $0<A<\pi$，得 $A=\pi /4$，从而 $C=3\pi /4-B$。令 $t=\sin B-\cos B$，则目标 $\sin 2B+2\cos C=1-t^2+\sqrt{2}t=3/2-(t-1/\sqrt{2}{)}^2\le 3/2$。当 $B=5\pi /12,C=\pi /3$ 时 $t=1/\sqrt{2}$，满足原条件并达到上界，故最大值为 $\boxed{3/2}$，选 C。