2009 年湖北预赛 · 第 12 题

解答

利用总和四，有 $Q=a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a-4=(a-b{)}^2/b+(b-c{)}^2/c+(c-d{)}^2/d+(d-a{)}^2/a$。令 $t=a-b$，后三个差之和为 $-t$，分母之和为 $4-b$，故柯西给 $Q\ge t^2/b+t^2/(4-b)=4t^2/[b(4-b)]\ge t^2$，最后使用 $b(4-b)\le 4$。因此 $\boxed{a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a\ge 4+(a-b{)}^2}$。