2024 年江苏预赛

解答

若 $a>0$，则 $z+a=\pm \sqrt{a}$ 为实数，进而 $z$ 为实数，与 $z$ 是虚数矛盾。$a=0$ 又会推出 $z=0$，也不合题意。

故 $a<0$。写成 $a=-t^2$，其中 $t>0$。此时 $z+a=\pm it$，从而 $z=t^2\pm it$。条件 $|z|=1$ 给出

故 $t^2=(\sqrt{5}-1)/2$。因此