2023 年浙江预赛

解答

（1）$A=(0,b)$、$B=(-a,0)$，故

又 $c/a=3/5$，所以 $b^2/a^2=1-9/25=16/25$。由此 $a=5,b=4$，椭圆为

（2）直线 $AP$ 上的点写成

代入椭圆，所得关于 $\lambda$ 的二次方程已有根 $\lambda =1$；另一根为

因此

由 $A=(0,4)$、$B=(-5,0)$，行列式计算给出

令 $x=-t\in [1,4]$，则

求导得

故唯一内部极大点为 $x=5(\sqrt{2}-1)$。比较极值点与两端点：

所以