培玉 · 一试

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2015 年湖北预赛 · 第 3 题

F2填空题多项式

若

(x^{2} - x - 2)^{3} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6},

则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ 。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

只求奇次系数和时，代入相反的两个单位值后作差即可消去全部偶次项；要保留除以二，并把常数项也计入被消去的部分。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：对称配对：和差分离、多项式系数的赋值与加权求和

专题卡：两个多项式恒等或只求部分系数：比较系数，代入特殊值、只要奇次或偶次系数：把和成对比较