同一骨架 2023 年江西预赛 · P006721
两题都利用圆上已知点，把等距离的平方差变成关于圆心的线性数量积；目标只用这些线性关系的组合，无须完整求出圆心。
外心题把边向量与重心向量配对；圆与平行四边形题把对角线参数代入过原点的圆方程。
培玉 · 一试
2021 年贵州预赛
F2填空题向量的数量积与几何意义
设 和 分别是 的重心和外心，且 ，，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
以 为原点，用外心到三个顶点等距的点积条件，避免求三角形的角或第三边。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 ，， 。由 ，
又 ，故
复核
结果与 无关；外心在三角形内外都不影响等距点积恒等式。
方法总结
重心与外心的向量点积，常以一个顶点为原点，并用外心等距条件线性化。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
由外心到三顶点等距得与两边的点积，再把重心向量写成两边和的三分之一。
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