2010 年中科大少年班初试 · 第 3 题

解答

将两平行面看作水平面，取 $AB$ 的单位方向为 $w$。因为它与水平面成四十五度，其水平分量可写为 $q/\sqrt{2}$，其中 $q$ 是水平单位向量。设 $m,n$ 的单位方向为 $u,v$，均为水平向量。$n\perp AB$ 给 $v\cdot q=0$。又 $m$ 与 $AB$ 成六十度，故 $|u\cdot w|=1/2$，也就是 $|u\cdot q|=1/\sqrt{2}$。在水平二维正交单位基 $q,v$ 中，得 $|u\cdot v|=1/\sqrt{2}$，所以 $\boxed{\angle (m,n)=\pi /4}$，选 B。