一试训练题

解答

$f$ 单调（严格），故为单射。$f(f(x)-\ln x)$ 恒为 $e+1$，所以 $f(x)-\ln x$ 恒等于某常数 $c$，且 $c>0$（在定义域内）。于是 $f(x)=c+\ln x$，代入 $x=c$ 得 $c+\ln c=e+1$。$h(c)=c+\ln c$ 严格递增且 $h(e)=e+1$，所以 $c=e$，$f(x)=e+\ln x$。回代：$f(x)-\ln x=e$，$f(e)=e+1$，成立。不等式化为 $\ln x<x-1$。令 $\phi (x)=x-1-\ln x$，${\phi }^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}$，$\phi$ 在 $(0,1)$ 递减、在 $(1,+\infty )$ 递增，$\phi (1)=0$，故 $\phi (x)>0⟺x\ne 1$。解集为 $\boxed{(0,1)\cup (1,+\infty )}$。