2025 年中科大少年班入围考 · 第 6 题

解答

原式要求 $a>0,a\ne 1$。令 $t=\sqrt{x^2+ax+5}\ge 0$，换底并乘 $\ln a$ 后，方程成为

左端在 $t\ge 0$ 严格递增，零点值为零，且 $t=2$ 恰满足，所以唯一可能为 $t=2$。因此

它有实根当且仅当 $a^2\ge 4$。结合正底数要求，得到