一试训练题

解答

$f(x)+f(-x)=\ln \left[(9x^2+1)-a^2{x}^2\right]=\ln \left[1+(9-a^2)x^2\right]$ 对所有 $x$ 为零，所以 $a^2=9$，$a=3$。此时真数 $\sqrt{9x^2+1}-3x>|3x|-3x\ge 0$，定义域为 $\mathbb{R}$。不等式化为 $\sqrt{9x^2+1}-3x>\frac{1}{3}$，即 $\sqrt{9x^2+1}>3x+\frac{1}{3}$。若 $3x+\frac{1}{3}<0$（$x<-\frac{1}{9}$），恒成立；若 $x\ge -\frac{1}{9}$，两边平方得 $9x^2+1>9x^2+2x+\frac{1}{9}$，即 $x<\frac{4}{9}$。合并得 $\boxed{\left(-\infty ,\frac{4}{9}\right)}$。