2022 年北京预赛

解答

令$t=x-1/2$，有$t>-1$，原式等价于$kt=(t+1{)}^2>0$。 因此$t\ne 0$且$k=t+2+1/t$。 在$-1<t<0$时，该函数导数$1-1/t^2<0$，值域为$(-\infty ,0)$，故每个$k<0$恰有一个有效根。 在$t>0$时，由$t+1/t\ge 2$，有$k\ge 4$；$k=4$时只有$t=1$，$k>4$时二次方程有两个正根。 $k=0$或$0<k<4$无根。故仅有一个实根的参数为$(-\infty ,0)\cup \{4\}$，所求最大值为$\boxed{4}$。