2022 年贵州预赛

直角三角形两边动点中点的轨迹

F2选择题解析几何综合

$M, N$ 分别是 $Rt △ A BC$ 两直角边上的动点， $P$ 是线段 $MN$ 的中点。则以下结论正确的是（）

A. 当 $△ A MN$ 的面积为定值时，点 $P$ 的轨迹为双曲线的一支

B. 当 $∣ MN ∣$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为一圆弧

C. 当 $∣ A M ∣ + ∣ A N ∣$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为空端点线段

D. 当 $△ A MN$ 的周长为定值时，点 $P$ 的轨迹为抛物线

作答

记两条直角边长分别为 $b, c$ ，取沿两条直角边的单位向量 $e_{1}, e_{2}$ 。设

M = O + x e_{1}, N = O + y e_{2},

其中若边包含端点，则 $0 \leq x \leq b$ 、 $0 \leq y \leq c$ ；若不包含某些端点，只需删去相应边界值。由于两条直角边互相垂直，

M N^{2} = x^{2} + y^{2} .

而

P = O + \frac{x e _{1} + y e _{2}}{2},

所以

O P^{2} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{4} = \frac{M N ^{2}}{4} .

当 $MN = d$ 为定值时，恒有 $OP = d /2$ 。反之，在该圆的第一象限部分上写

P = O + \frac{d}{2} (cos θ e_{1} + sin θ e_{2}),

只需满足

d cos θ \leq b, d sin θ \leq c

及相应的端点取舍；这些条件给出的 $θ$ 集合是一个区间，故轨迹是一段以 $O$ 为圆心、半径为 $d /2$ 的圆弧。按轨迹题通常采用的非空、非退化定值约定，即

0 < d < b^{2} + c^{2},

该区间具有正长度，所以 B 正确。若允许边端点且 $d = 0$ 或 $d = b^{2} + c^{2}$ ，轨迹会退化为一点；若 $d > b^{2} + c^{2}$ ，轨迹为空集。这是 B 所需明确的边界，而不是对题面另加条件。

下面排除其余选项。先取题面允许的直角三角形

B = (0, 0), A = (2, 0), C = (0, 2),

令 $M = (x, 0)$ 位于 $A B$ 上、 $N = (0, y)$ 位于 $BC$ 上，并记 $P = (X, Y) = (x /2, y /2)$ 。

若固定

[△ A MN] = \frac{1}{4},

则

\frac{( 2 - x ) y}{2} = \frac{1}{4}, 即 (1 - X) Y = \frac{1}{8} .

由于 $0 < X, Y < 1$ ，所得轨迹只是该双曲线一支上的有界真子弧，而完整的一支是无界的，故不能说轨迹为双曲线的一支，A 错误。

再固定

A M + A N = 3.

此时

2 - x + 4 + y^{2} = 3, x = 4 + y^{2} - 1.

取三个边内点参数

(x, y) = (\frac{13}{12}, \frac{7}{12}), (\frac{7}{6}, \frac{5}{6}), (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}),

均满足上述等式，对应的中点依次为

(\frac{13}{24}, \frac{7}{24}), (\frac{7}{12}, \frac{5}{12}), (\frac{3}{4}, \frac{3}{4}) .

前两个点连线的斜率为 $3$ ，后两个点连线的斜率为 $2$ ，三点不共线。因此轨迹根本不是线段，无论端点是否计入，C 都错误。

最后另取题面允许的构型

A = (0, 0), B = (2, 0), C = (0, 2),

令 $M = (x, 0)$ 、 $N = (0, y)$ 为两直角边上的内点。若 $△ A MN$ 的周长固定为 $3$ ，则

x + y + x^{2} + y^{2} = 3.

移项平方可得

2 x y - 6 x - 6 y + 9 = 0, 即 (x - 3) (y - 3) = \frac{9}{2} .

在 $0 < x < 3/2$ 时可得到一段连续的合法轨迹；其所在曲线是双曲线而非抛物线。中点变换只是以 $O$ 为中心的二分之一伸缩，不改变曲线类型，故 D 错误。

综上，正确选项为

B .

为什么评为 F2（会透露解法方向）

中点坐标为(x/2,y/2)，面积、距离、边长和、周长条件均可直接转成二元方程；主要核对轨迹只是有限边上允许的一部分，存储选项判定忽略了这一点。

用到的方法（会透露解法方向）