2014 年黑龙江预赛 · 第 13 题

解答

正三棱锥的三条侧棱相等，设 $PA=PB=PC=l>0$；它们又两两垂直，所以可作为同一个正方体的三条相邻棱。 设对顶点为 $V$，正方体中心为 $O$。$O$ 到 $P,A,B,C$ 等距， 而四点不共面，等距点唯一，所以它就是题设球的球心。 正方体的体对角线是球的直径，故

设 $G$ 为 $△ABC$ 的重心。由于三条棱等长且两两垂直， $AB=BC=CA=\sqrt{2}l$；$PA=PB=PC$，所以 $PG$ 垂直于平面 $ABC$。 又 $\overrightarrow{PG}=(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})/3=\overrightarrow{PV}/3$， 故 $P,G,O,V$ 在同一直线上，$PG=PV/3=2\sqrt{3}/3$，$PO=PV/2=\sqrt{3}$。 于是球心到截面所在平面的距离为

球心在截面另一侧，距离取非负差值；并未把球心当作三棱锥内部点。