培玉 · 一试
2024 年新疆预赛
F2填空题向量的数量积与几何意义
在空间四边形 中，，，，，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把对角线点积写成四条边长平方的组合，可消去空间位置和夹角。
解答
取 为原点，记 的位置向量为 。则
故
复核
恒等式只使用向量展开，对四点是否共面没有额外要求，适用于题中的空间四边形。
方法总结
四边形对角线的点积可通过展开边长平方消去未知夹角，这是与形状无关的向量恒等式。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把对角线数量积写成四条边平方的交错和，恒等式在空间中同样适用。
已记下，谢谢！