2021 年吉林预赛

解答

直线 $l$ 与抛物线 $y=-x^2$ 的交点横坐标满足

而它与直线 $y=-x$ 的交点横坐标为

其中必须有 $k\ne -1$。 曲线两分支的公共点为 $(0,0)$ 和 $(1,-1)$。

(1) 当 $b=1/16$ 时，方程 (1) 有两个不同实根的条件为

即 $|k|>1/2$。因 $b\ne 0$，直线不经过 $(0,0)$；它经过另一个公共点 $(1,-1)$ 当且仅当

即 $k=-17/16$。此外 $k=-1$ 时直线与分支 $y=-x$ 平行，没有第三个交点。 故

(2) 当 $b=1$ 时，设方程 (1) 的两个根为 $p,q$， 另一直线分支上的交点横坐标为

三个点在同一直线上，距离之比等于横坐标差的绝对值之比。 条件 $|AB|=|BC|$ 表明按直线上的顺序，中间点的横坐标是另两点的平均数。

若 $t$ 是中间项，则

结合 $t=-1/(k+1)$ 得 $k=1$ 或 $k=-2$，但前者使 (1) 无实根， 后者使 (1) 有重根，均不合题意。

因此抛物线交点之一是中间点。不妨设

由 $p+q=-k$、$pq=1$，消去 $p,q,t$ 得

即

$k=-2$ 仍使抛物线相切，应排除。函数 $2k^3-6k-5$ 在两个极值点 $k=\pm 1$ 处的值均为负， 所以它只有一个实根。令 $u=\sqrt[3]{2}$，则

满足

故唯一可行值为