培玉 · 一试
2012 年山西预赛 · 第 5 题
F2填空题排列组合
用七个数码 适当排成一个 7 位数，使得它是 11 的倍数，
则能排出的数的个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
十一整除规则把问题转成奇数位数码和，再先选位置类别中的数码集合、后排列。
解答
七个数码总和为二十八，设四个奇数位置的和为 ，则三个偶数位置和为 。十一整除要求 为十一的倍数。因 ，且 为偶数，范围 内唯一可能是零，故 。 三个偶数位的数码也须和为十四，递增三元组恰为
每组确定奇偶位置的数码集合后，分别有 和 种排列，所以
复核
和14的三元组可固定最小数逐个列举：最小数为一有一组、二有一组、三有两组，四及以上最小和至少15，故穷尽。所有数码非零，不存在首位零问题。
方法总结
整除与排列结合时，先把数码分入位置类别并满足余数条件，再排列各类内部位置。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
需用11整除的奇偶位和条件筛数码集合，列尽和14的三元组，再分别排列位置。
已记下，谢谢！