2008 年河北预赛 · 第 15 题

解答

（1）两向量长度分别是到 $(-2,0),(2,0)$ 的距离，差为二，故轨迹为 $\boxed{x^2-y^2/3=1,x\ge 1}$。（2）令 $\alpha =\angle PAF,\beta =\angle PFA$。对轨迹点 $P=(x,y)$，有 $y^2=3(x^2-1)$，$\tan \alpha =|y|/(x+1)$，且 $0\le \alpha <\pi /3$。因此 $\cos 2\alpha =(2-x)/(2x-1)$。右焦半径 $PF=2x-1$，而射线 $FA$ 向左，所以 $\cos \beta =(2-x)/(2x-1)$。两角 $2\alpha ,\beta$ 都在 $[0,\pi ]$，余弦在此区间单射，故 $\boxed{\beta =2\alpha ,\lambda =2}$。