2023 年山东预赛

解答

取

并令对应顶点的第三坐标为 $1$。设 $M=(u,v,1)$，其中 $0\le u,v\le 1$。平面 $A{D}_{1}C$ 的一个法向量为 $(-1,1,-1)$，而

由 $BM\Vert$ 平面 $A{D}_{1}C$ 得 $v-u=0$，故 $M=(u,u,1)$。

记 $q=u^2+(1-u{)}^2$。向量 $\overrightarrow{M{D}_1}=(-u,1-u,0)$ 与 $\overrightarrow{MD}=(-u,1-u,-1)$ 的公共水平分量长度为 $\sqrt{q}$，第二个向量还多一个与其垂直的单位竖直分量，故

而

所以最大值为 $\boxed{\sqrt{2}}$，在 $u=\frac{1}{2}$ 时取得。