同一骨架 2016 年山西预赛 第 2 题 · P009482
先与一个低次目标作差，把节点上的函数值变成互异零点，再让次数限制决定多项式，而不直接通分或大规模展开。
一题需先乘自变量才能消去倒数，再由额外节点定比例；另一题的差式次数已经低于互异零点数，直接得到恒等。
培玉 · 一试
2025 年广东预赛
三次多项式插值求第五点
F3填空题多项式
已知三次多项式 满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
构造 ，四个插值条件变成四个根，而常数项能立即确定比例系数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令
则 ，且 ，故
比较 时的值，
所以 。于是
从而
复核
的次数至多为 ，已有四个互异根；由 确定的系数与四个插值点均相容。
方法总结
当多项式在整数点的值形如 时，乘以 再减 可把有理值条件变成整齐的零点条件。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需选择xf(x)−1把四个倒数数据变成四个零点，再用次数和x=0确定唯一常数，避免解四元插值系数。
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