培玉 · 一试
2022 年四川预赛
幂等式中的对数值
F1填空题幂指对
已知正实数 满足
则 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
由于 ，先消去等式两边共同的指数 ，求出底数 ，再用对数的运算性质计算目标式。
解答
由 及 ，得
从而
因为 ，所以
于是
复核
为正数且不等于 ，故对数有定义；代回有 ，与原等式等价。
方法总结
含相同正指数的幂等式，先利用正数幂函数的单射性去掉指数，再把底数统一成同一素数的幂；对数目标式宜先拆成常数项与幂指数项。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
共同正指数b可直接消去，解出a为2的幂后用换底计算目标，均是基本指数对数运算。
已记下，谢谢！