2024 年广西预赛

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P(0,1)$，点 $A$ 为动点。以线段 $AP$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切，设 $A$ 点的轨迹为曲线 $E$。

（1）求 $E$ 的方程；

（2）若直线 $AP$ 与 $E$ 交于另一点 $B$，$△AOB$ 的外接圆交 $E$ 于点 $C$（不与 $O,A,B$ 重合），过点 $C$ 作 $E$ 的切线交直线 $AP$ 于点 $N$，求 $|ON|$ 的最小值。