2023 年浙江预赛

解答

左侧恰为

因 $a,b\ge 1$，存在这样的 $a,b$ 当且仅当 $(n-2m{)}^2+(n-2{)}^2+(k-1{)}^2\le 2$：必要性由比较得到，充分性取 $a=b=1$。 由 $(n-2{)}^2\le 2$，仅需 $n=1,2,3$。$n=1$ 时只能 $m=1,k=1$，总和为三；$n=2$ 时只能 $m=1,k=1$ 或二，总和为四或五；$n=3$ 时只能 $m=1$ 或二、$k=1$，总和为五或六。所以可能值集合为 $\{3,4,5,6\}$，共有 $\boxed{4}$ 个。