2026 年北京预赛

思路

非负项的部分和不超过总和。将偶环分成奇偶两组后，每个相邻积恰出现于两组总和的乘积展开中；两组和为一时，乘积至多为四分之一，来自平方差非负。

想法从哪来：若把所有变量都取平均，未必找到循环式的最小值；先试只有相邻两项非零，能看出目标下界可能来自零与二分之一这两个局部值。于是寻找在这两个位置接触倒数曲线的直线。比较倒数与“一减变量”后，差恰好分解成非负的平方因子，分式和就下降为相邻乘积和的问题。 相邻乘积仍有循环结构，但指标个数是偶数，奇数位与偶数位可以分成两组，连最后与第一项也跨组。非负性允许把这些相邻乘积扩充到两组所有交叉乘积，再用两组总和固定控制上界。最后让最初试出的稀疏配置同时满足每一步等号。

分母与下一个变量相连。先找单变量切线型下界 $1/(1+4t^2)\ge 1-t$，可把分式和化为 $1-\sum a_i{a}_{i+1}$； 指标个数为偶数，随后用奇偶二部划分控制相邻乘积和。