2026 年江西预赛

思路

望远镜求和指将相邻项相消，如 $1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n$。比较递推时先证明差量为正，才能逐次相乘并保持不等号方向。

想法从哪来：题目只问总和的取整，先估计能否夹在相邻整数之间，比追求根式递推的显式通项更合适。观察数列可能靠近一，于是从平方中减一；新差量的递推可以提出原差量，剩下一个正因子，同时得到原数列始终大于一且递减。 上界可把后续项统一压在早期项之下，再用可裂项的分母放大。下界则从差量的乘积因子与简单分式比较，构造一个能望远镜求和的比较序列。若粗下界还差一点跨过整数，不必全面加精度，只抽出某个早期项的精确超额，补偿长尾留下的小缺口。最后检验两侧都是严格不等式。

不必求出 $a_n$ 的通项，只需把总和夹在两个相邻整数之间。令 $y_n=a_n^2-1$ 后，递推变成正因子的连乘关系，既能证明 $a_n$ 单调，又能给出 $y_n$ 的简单下界；再与裂项和 $\sum 1/[n(n-1)]$ 配合。