2009 年黑龙江预赛 · 第 18 题

解答

由 $a=b\cos C+c\cos B$，第一条件化为 $(2a-c)\cos B=a-c\cos B$，故 $2a\cos B=a$。因 $a>0$，得 $\boxed{B=\pi /3}$。第二条件用正弦定理变成 $a^2=b^2+c^2-\lambda bc$，比较余弦定理得 $\lambda =2\cos A$。若 $\lambda =\sqrt{3}$，则 $A=\pi /6,C=\pi /2$，所以为直角三角形。若三角形为钝角，B 不可能钝：当 $\pi /2<A<2\pi /3$ 时，$-1<\lambda <0$；当 C 钝时 $0<A<\pi /6$，$\sqrt{3}<\lambda <2$。故 $\boxed{\lambda \in (-1,0)\cup (\sqrt{3},2)}$。