2025 年中科大少年班营二 · 第 4 题

解答

由平移不变性，所有正整数单点的测度相同，设为 $c\ge 0$。有限可加性给出

所以只能 $c=0$。

记正奇数集为 $O=\{1,3,5,\dots \}$。有 $E+1=\{3,5,7,\dots \}$，且 $O=(E+1)\cup \{1\}$ 为不交并。因此

$E,O$ 不交，合起来是全部正整数。若自然数集采用包含零的约定，平移不变仍给 $\mu (\{0\})=\mu (\{1\})=0$，故也不影响总测度。于是有限可加性给出 $1=\mu (E)+\mu (O)=2\mu (E)$，从而