培玉 · 一试
2026 年江苏预赛
五点确定椭圆的焦距
F3填空题椭圆
在平面直角坐标系 中，已知点
都在椭圆 上，则 的焦距为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
五个点可确定一个一般二次曲线。
思路
先代入一般方程求出椭圆， 再平移到中心并旋转二次型，读出长、短半轴。
解答
设 的一般方程为
依次代入题给五点并解所得线性方程组，可得各系数成比例于
因此椭圆方程为
令
则方程化为
再令
得到
故半长轴平方为 ，半短轴平方为 ，于是
椭圆的焦距为 ，所以
复核
把五个给定点代入 均成立； 旋转后的两个二次项系数均为正，确实得到椭圆而非双曲线。
方法总结
若椭圆可能旋转，不应预设标准轴方向。先用一般二次方程拟合， 再通过中心平移和正交旋转把二次型对角化，最后由两个特征方向读出焦距。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
由五点求一般二次式后，需识别xy交叉项对应45度旋转，并平移中心才能从标准式读出焦距。
已记下，谢谢！