同一骨架 2025 年北京预赛 · P006195
先取模，把复数候选限制到两个圆的交点，再用原方程的角度条件筛选。交点只解决位置，幂的次数或整数参数还要代回检查，不能用取模后的条件代替全部原式。
前题检查固定幂次能否同时成立，后题由候选方向反推可行的正整数指数。
培玉 · 一试
2024 年浙江预赛
F2填空题复数的三角形式与指数形式
已知复数 满足
则复数 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
两个幂等于 先给出两个单位圆条件，其交点只有两个，再代回指数检验。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由题设得 。两个单位圆的交点为
它们分别为 ；相应的 为 。因 且 ，两个值均满足原式。因此
复核
模条件给出的两圆只有这两个交点；两者均已代回两个幂式，既无增根也无漏根。
方法总结
复数幂为 时先取模定位单位圆，再用辐角或单位根阶数完成筛选。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
取模把z限制为两单位圆的两个交点，再核验24及510次幂即可。
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