同一骨架 2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） 第 9 题 · P007240
两题先由焦点距离和图形中的比例关系确定形状，再判断是否还需恢复尺度。前题借短轴顶点的对称性及勾股关系得到关键边长比例，还须用最短距离恢复尺度并求方程；后题直接利用焦半径和消去公共尺度，只求离心率。
前题把等边条件与短轴顶点、焦点组成的对称三角形结合；后题把两个点到两焦点的距离和联立，再用三角形关系连接焦距。
培玉 · 一试
2022 年江西预赛
焦点与短轴顶点构成正三角形的椭圆
F2填空题椭圆
若椭圆
的两焦点与短轴的一个顶点恰好组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆 的焦点到椭圆的最短距离为 ，则椭圆 的方程是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
两焦点间距为 ，焦点到短轴顶点的距离为 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
正三角形条件给出 ；焦点到椭圆的最短距离为 ，由此确定全部半轴。
解答
记 。焦点为 ，短轴顶点为 。焦点到该顶点的距离为
由正三角形条件，
一个焦点到椭圆的最短距离为相邻长轴顶点给出的 ，故
联立得 ，再由 得 。所以
复核
所得椭圆焦距为 ，焦点到短轴顶点的距离也是 ；最近距离 ，两项条件均满足。
方法总结
椭圆几何条件先翻译成 ：焦点到短轴顶点恒为 ，两焦点距离为 ，焦点到椭圆的最短距离为 。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
正三角形直接给a=2c，最近长轴顶点给a-c=sqrt3，两个关系确定尺度再求b²，属于基础椭圆几何模型。
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