同一骨架 2017 年中科大少年班初试 第 14 题 · P009991
全局总量靠近基线时，改数额外贡献或正亏量常比直接安排更有力。预算恰好到达最小值会迫使每步取等；预算严格不足以容纳坏配对，则可直接排除所有坏配对。
前题先扣每人必捐的一本，互异非负整数的最小和锁定各班人数；后题从各项的上、下端点写出全为正的亏量预算，结论甚至不需要真正重排。
培玉 · 一试
2026 年福建预赛
F3填空题组合计数综合
来自某中学高三年级 个班的 位同学参加“读书节”活动，在活动中这 位同学共捐赠了 本书给图书馆。已知同一个班的同学捐赠的书的本数相同， 不同班的两个同学捐的书的本数不同，且每个同学都至少捐赠了一本书。则恰好捐赠一本书 的同学有位。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先从每位同学捐出的书中扣去一本，只剩总共 本“额外捐赠”。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
五个班的额外本数 是互不相同的非负整数，其最小总贡献恰好已经达到 ，从而所有不等式同时取等。
解答
设第 个班有 位同学，每人捐 本书。则
且 是互不相同的正整数。令 ，则 是互不相同的 非负整数，并且
五个互不相同的非负整数之和至少为 。又因每个 ，
结合（1），两处不等式均取等。因此 ， 且对 的四个班都有 。这四个班共 人，其余 人均在 、即每人捐一本书的班级中。故答案为
复核
班级人数为 、对应每人捐书本数为 时， 总人数为 ，总本数为 ，确实达到所有条件。
方法总结
当总量只比“每人至少一个”的基线略大时，先减去基线。互异非负整数的最小和 常会迫使班级大小和取值同时达到极端。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
每人先扣一本后，五班不同捐赠量至少消耗0+1+2+3+4=10本增量；总增量恰为10迫使四个较高班各仅一人。
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