2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 10 题

解答

设 $a_1=q$，$b_1=d$，则等差数列的公差为 $d$，等比数列的公比为 $q$，且 $q,d>0$。 记 $S=a_m=b_m$，有

因此 $S-q=(m-1)d>0$，且

对 $m$ 个正数

使用算术平均数与几何平均数不等式。它们的和为 $S$，故

代入前述等式并利用 $S>0$，得

等号当且仅当 $q/(m-1)=S-q=(m-1)d$，即

为验证下界可达，取

这时 $q,d>0$，由它们定义的两个数列均为正项数列，且

所以满足全部条件，并取到上述下界。 因此